گونه هایی نوین در روش یکپارچه قطری

در سال ‎۱۹۰۶‎، برتراند راسل در مقاله خود نشان داد که تقریباً تمامی پارادکس های نظریه مجموعه ها دارای یک شکل مشترک می باشند. در سال ‎۱۹۶۹‎، لاوور با استفاده از زبان نظریه رسته ها، به یک وحدت و یکپارچگی عمیق تر دست یافت که نه تنها پارادکس های نظریه مجموعه ها، بلکه پدیده ناتمامیت را نیز شامل می شد. در واقع لاوور طرحی مشترک ارایه داد که موضوعات بسیار همچون قضیه کانتور در مورد مجموعه های توانی، پارادکس راسل، قضیه تارسکی در مورد تعریف ناپذیری درستی و همچنین قضیه اول ناتمامیت گودل را در بر داشت. در سال ‎۲۰۰۳‎ یانُفسکی با استفاده از زبان نظریه مجموعه ها، کارهای لاوور را به گونه ای تعمیم داد که این طرح مشترک شامل مسائل و پدیده های بیشتری می شد. لاوور و یانفسکی نشان داده اند که چگونه پارادکس هایی چون پارادکس راسل، پارادکس گریلینگ، پارادکس مشهور دروغگو همگی دارای یک چارچوب یکپارچه بوده و طرح اثباتی شبیه به قضیه کانتور دارند. علاوه بر این، از این چارچوب یکپارچه برای اثبات مسئله توقف تورینگ، قضیه بازگشت در نظریه محاسبات، قضیه ناتمامیت اول گودل و همچنین برای ارائه یک زبان غیر شمارای کارآمد استفاده خواهیم نمود. با کمی توجه می توان دید در اکثر قضایا و مسائل ذکر شده از فرآیند قطری سازی برای اثبات استفاده شده است؛ و راسل، لاوور و یانفسکی نیز از همین واقعیت برای ارایه طرح مشترک خود بهره جسته اند. در این رساله و در ادامه کارهای لاوور و یانفسکی، ما از این چارچوب یکپارچه برای ارایه اثبات های جدید برای قضیه کانتور، قضیه اقلیدس (نامتناهی بودن اعداد اول) در نطریه اعداد استفاده خواهیم نمود. همچنین این چارچوب را برای رسیدن به تابع اکرمن و معرفی توابع شبه- ‎اکرمن تعمیم خواهیم داد و نشان می دهیم که با استفاده از تعمیم های این چارچوب یکپارچه می توان توابعی در نظریه محاسبات ارایه نمود که رفتاری کاملاً شبیه به تابع اکرمن دارند. در فصل های انتهایی این رساله، ما به صورت مفصل به بررسی پارادکس یابلو، صورتبندی های مختلف آن و همچنین ارتباط این پارادکس با پدیده ناتمامیت خواهیم پرداخت. سپس این پارادکس چالش برانگیز را در قالب منطق زمانی خطی ltl‎ صورتبندی نموده و نشان می دهیم که این صورتبندی جدید در چارچوب یکپارچه یانفسکی می گنجد. همچنین با استفاده از این صورتبندی پارادکس یابلو در منطق زمانی، این پارادکس و نسخه های مختلف آن را برای اولین بار به قضایایی در منطق زمانی خطی تبدیل می نماییم.